Question

若对任意的x∈D，均有f₁(x)≤f(x)≤f₂(x)成立，则称函数f(x)为函数f₁(x)到函数f₂(x)在区间D上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x＋1)ln x，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k的取值范围为________．

Answer 1

{2}

法一：依题意可知当x∈[1,2e]时，恒有0≤(k－1)x－1≤(x＋1)ln x成立．
当x∈[1,2e]时，由(k－1)x－1≥0恒成立，可知k≥1＋恒成立，又x∈[1,2e]时， _max＝2，此时x＝1，从而k≥2.
当x∈[1,2e]时，由(k－1)x－1≤(x＋1)ln x恒成立，可知k≤＋1恒成立，记
m(x)＝＝ln x＋，
其中x∈[1,2e]．从而m′(x)＝ln x＋－＝，易知当x∈[1,2e]时，x＞ln x(可以建立函数再次利用导数证明，)所以当x∈[1,2e]时，m′(x)＞0，所以m(x)在x∈[1,2e]上是单调递增函数，所以k≤m(x)_min＋1＝m(1)＋1＝2.
综上所述可知k＝2，所以实数k的取值范围为{2}．
法2：由于本题的特殊性，可看出g(1)＝0，h(1)＝0，由题知g(1)≤f(1)≤h(1)，显然f(1)＝0，即k＝2.h′(x)＝1＋＋ln x．在[1,2e]上，h′(x)＞1＝f′(x)，故k＝2.