题目内容

【题目】已知函数f(x)=log 的图象关于原点对称,其中a为常数.
(1)求a的值;
(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)+log (x+1)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=log (x+k)在[2,3]上有解,求k的取值范围.

【答案】
(1)

解:∵函数f(x)的图象关于原点对称,

∴函数f(x)为奇函数,

∴f(﹣x)=﹣f(x),

即log =﹣log = log

解得:a=﹣1或a=1(舍)


(2)

解:f(x)+ log (x﹣1)= log + log (x﹣1)= log (1+x),

x>1时,log (1+x)<﹣1,

∵x∈(1,+∞)时,f(x)+ log (x﹣1)<m恒成立,

∴m≥﹣1;


(3)

解:由(1)得:f(x)= log (x+k),

即log = log (x+k),

=x+k,即k= ﹣x+1在[2,3]上有解,

g(x)= ﹣x+1在[2,3]上递减,

g(x)的值域是[﹣1,1],

∴k∈[﹣1,1]


【解析】(1)根据函数的奇偶性,求出a的值即可;(2)求出f(x)+ log (x﹣1)= log (1+x),根据函数的单调性求出m的范围即可;(3)问题转化为k= ﹣x+1在[2,3]上有解,即g(x)= ﹣x+1在[2,3]上递减,根据函数的单调性求出g(x)的值域,从而求出k的范围即可.

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