题目内容

17.设a,b,c∈R,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0.

分析 将b看作主元,配方,再由完全平方数非负,即可得证.

解答 证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)
=3b2+3b(a+c)+a2+ac+c2
=3(b+$\frac{a+c}{2}$)2-$\frac{3}{4}$(a+c)2+a2+ac+c2
=3(b+$\frac{a+c}{2}$)2+$\frac{1}{4}$(a2-2ac+c2
=3(b+$\frac{a+c}{2}$)2+$\frac{1}{4}$(a-c)2≥0.
即有原不等式成立.

点评 本题考查不等式的证明,考查配方法的运用和非负数的概念,考查运算能力,属于中档题.

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