Question

5．证明：$\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+…+\frac{n+1}{n}＞n•\root{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由均值不等式$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}•{a}_{2}…{a}_{n}}$（a₁，a₂，…，a_n＞0），当且仅当a₁=a₂=…=a_n取得等号．即可得证．

解答 证明：由均值不等式$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}•{a}_{2}…{a}_{n}}$
（a₁，a₂，…，a_n＞0），当且仅当a₁=a₂=…=a_n取得等号．
可得$\frac{2}{1}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{4}{3}$+…+$\frac{n+1}{n}$≥n•$\root{n}{\frac{2}{1}•\frac{3}{2}•\frac{4}{3}…\frac{n+1}{n}}$=n•$\root{n}{n+1}$．
由于$\frac{2}{1}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{4}{3}$，…，$\frac{n+1}{n}$不相等，
则有$\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+…+\frac{n+1}{n}＞n•\root{n}{n+1}$成立．

点评 本题考查均值不等式的运用，考查运算化简能力，属于基础题．