题目内容
8.已知函数$f(x)=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}({ω>0})$的图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{4}$.(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值.
分析 (1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的表达式为sin(2ωx+$\frac{π}{6}$),再根据图象上两相邻对称轴间的距离可求正周期,利用周期公式求得ω,从而求得f(x)的表达式.由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,可解得f(x)的单调递减区间.
(2)根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,可得g(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$),由正弦函数的图象和性质即可得解.
解答 解:(1)∵$f(x)=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}({ω>0})$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin(2ωx+$\frac{π}{6}$),
∵图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{4}$.
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{π}{2}$.
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$.
∴ω=2.f(x)=sin(4x+$\frac{π}{6}$),
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,可解得f(x)的单调递减区间为:[$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$,$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$],k∈Z.
(2)将f(x)的图象向右平移个$\frac{π}{8}$个单位后,得到y=sin(4x-$\frac{π}{3}$)的图象,
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(2x-$\frac{π}{3}$)的图象.
所以g(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$),
因为0≤x≤$\frac{π}{2}$,
所以2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$].
∴g(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
∴g(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值为1和最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
A. | y=1.23x-0.05 | B. | y=1.23x+0.05 | C. | y=1.23x+6.2 | D. | y=1.23x+5 |