Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$（a，b为常数），且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x₁=3，x₂=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）＜kx在x∈（0，1）时恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的不等式f（x）＜x+m在x∈（0，1）时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得关于a，b的方程组，求出a，b即可．
（2）分离参数k＞-$\frac{x}{x-2}$在x∈（0，1）时恒成立，求最大值即可；
（3）分离参数，换元求最大值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）依已知条件可知方程f（x）-x+12=0即为$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$-x+12=0，
因为x₁=3，x₂=4是上述方程的解，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{3a+b}-3+12=0}\\{\frac{16}{4a+b}-4+12=0}\end{array}\right.$，解得a=-2．b=2，
所以函数的解析式为f（x）=-$\frac{{x}^{2}}{x-2}$；
（2）关于x的不等式f（x）＜kx在x∈（0，1）时恒成立，
所以k＞-$\frac{x}{x-2}$在x∈（0，1）时恒成立，
所以k≥1；
（3）关于x的不等式f（x）＜x+m在x∈（0，1）时恒成立，
所以m＞-$\frac{{x}^{2}}{x-2}$-x在x∈（0，1）时恒成立，
令2-x=t（t∈（1，2），y=2（t+$\frac{2}{t}$）-6在（1，$\sqrt{2}$）上单调递减，在（$\sqrt{2}$，2）上单调递增，
所以4$\sqrt{2}$-6≤y＜0，
所以m≥0．

点评 用待定系数法求函数解析式是一种常用的，重要的方法，是基本技能，求参数的范围，利用分离参数法是常用方法．