题目内容
已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an+1)(n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
(Ⅰ)an＝n (Ⅱ) 见解析
(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1，即an+1－an＝1，
又a1＝1，所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故an＝1＋(a－1)×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n从而bn+1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn-1)＋(bn-1－bn-2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2n-1＋2n-2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn+2－b
＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n-1－1)2
＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0,
所以bn·bn+2＜b.
又a1＝1，所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故an＝1＋(a－1)×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n从而bn+1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn-1)＋(bn-1－bn-2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2n-1＋2n-2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn+2－b
＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n-1－1)2＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0,
所以bn·bn+2＜b
.
练习册系列答案
相关题目
的等差数列，求a＋b的值.
（
）
，记
.
并猜想
的表达式再用数学归纳法加以证明；
的前
项和为
，数列
的前
,是否存在自然数m？使得对一切
恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
的首项
，前
项和为
，且
．
，求函数
在
处的导数
．
经过点（0，10），其导数
，当
（
）时，
是整数的个数记为
。
的通项公式；
，求数列
的前n项（
）项和
。
是正项数列
的前n项和，且
，那么
的前
项和为
，已知
，
，则
.