Question

【题目】已知函数f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)；（2）见解析.

【解析】

（1）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（2）根据（1），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．

(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；

当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；

当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为

f(0)＝－k；

当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为

f(k－1)＝－ek－1；

当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.