题目内容
(本小题满分14分)已知函数.
(l)求的单调区间和极值;
(2)若对任意恒成立,求实数m的最大值.
(l)求的单调区间和极值;
(2)若对任意恒成立,求实数m的最大值.
(1)单增区间,单减区间,极小值;(2).
试题分析:(1)先对函数求导得到,然后分别求出以及时的的取值集合,这两个取值集合分别对应函数的单调增区间和单调减区间,根据函数的单调性可知函数在处取得极小值,求出即可;(2)根据,先将式子化简得,,构造函数,利用函数的单调性以及导数的关系,先求出函数的零点,再讨论函数在零点所分区间上的单调性,据此判断函数在点取得最小值,这个最小值即是的最大值.
试题解析:(1) ∵,
∴,
当时,有 ,∴函数在上递增, 3分
当时,有 ,∴函数在上递减, 5分
∴在处取得极小值,极小值为. 6分
(2)
即 ,
又, , 8分
令 ,
, 10分
令,解得或 (舍),
当时,,函数在上递减,
当时,,函数在上递增, 12分
, 13分
即的最大值为. 14分
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