题目内容
已知函数,.
(1)若,是否存在、,使为偶函数,如果存在,请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;
(2)若,,求在上的单调区间;
(3)已知,对,,有成立,求的取值范围.
(1)若,是否存在、,使为偶函数,如果存在,请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;
(2)若,,求在上的单调区间;
(3)已知,对,,有成立,求的取值范围.
(1)存在,如,;(2)函数的增区间为,减区间为;
(3)实数的取值范围是.
(3)实数的取值范围是.
试题分析:(1)直接举例并利用定义进行验证即可;(2)将,代入函数的解析式,去绝对值符号,将函数的解析式利用分段函数的形式表示出来,然后利用导数求出函数在相应区间上的单调区间;(3)先将绝对值符号去掉,得到,并根据题中的意思将问题转化为,然后利用导数进行求解,从而求出参数的取值范围.
试题解析:(1)存在使为偶函数,证明如下:
此时:, ,为偶函数,
(注:也可以
(2),
当时,,在上为增函数,
当时,,令则,
当时,在上为减函数,
当时,在上为增函数,
综上所述:的增区间为,减区间为;
(3),
,成立。
即:
当时,为增函数或常数函数,
综上所述:.
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