题目内容
5.已知数列{an}满足a1=2,an+1=an2+2an,求an.分析 通过在an+1=an2+2an,两边同时加上1,利用完全平方公式可知an+1+1=$({a}_{n}+1)^{2}$,通过在其两边同时取对数可构造以1为首项、2为公比的等比数列{log3(an+1)},进而计算可得结论.
解答 解:∵an+1=an2+2an,
∴an+1+1=an2+2an+1=$({a}_{n}+1)^{2}$,
∴log3(an+1+1)=log3$({a}_{n}+1)^{2}$=2log3(an+1),
又∵log3(a1+1)=log3(2+1)=1,
∴数列{log3(an+1)}是以1为首项、2为公比的等比数列,
∴log3(an+1)=2n-1,
∴an=-1+${3}^{{2}^{n-1}}$.
点评 本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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2.如图1,已知正方体ABCD-A1B1ClD1的棱长为a,动点M、N、Q分别在线段PM上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时,三棱锥Q-BMN的正视图面积等于( )
A. | $\frac{1}{2}$a2 | B. | $\frac{1}{4}$a2 | C. | $\frac{\sqrt{2}{a}^{2}}{4}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$ |