Question

17．设函数f（x）=（x-1）|x-a|+1（a＞0），若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是[-1，0]．

Answer 1

分析 由题意可得（x-1）|x-a|≥-1在[0，+∞）上恒成立，当x≥1时，成立；当0≤x＜1时，即有|x-a|≤$\frac{1}{1-x}$，即为-x-$\frac{1}{1-x}$≤-a≤$\frac{1}{1-x}$-x，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到所求范围．

解答 解：f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即为
（x-1）|x-a|≥-1在[0，+∞）上恒成立，
当x≥1时，（x-1）|x-a|≥0＞-1恒成立；
当0≤x＜1时，即有|x-a|≤$\frac{1}{1-x}$，
即为-x-$\frac{1}{1-x}$≤-a≤$\frac{1}{1-x}$-x，
由y=-x-$\frac{1}{1-x}$的导数为-1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＜0，函数y递减，
即有-a≥0，即a≤0；
由y=$\frac{1}{1-x}$-x的导数为y′=-1+$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＞0，函数y递增，
即有-a≤1，即a≥-1．
综上可得a的范围是[-1，0]．
故答案为：[-1，0]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及分离参数和函数的最值的求法，属于中档题．