Question

【题目】解答题
（1）在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）某班在一次数学活动中，老师让全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，统计出两数能与1构成锐角三角形的三边长的数对（x，y）共有12对，请据此估计π的近似值（精确到0.001）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有： P ( | M A | ≤ 1 ) = S阴影部分/S正方形ABCD =，

故事件“|AM|≤1”发生的概率为 ．

（2）

以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 Ω = { ( x , y ) | { 0 < x < 1 ;0 < y < 1 } ，

，即正方形ABCD内部；

事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域

，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分；

由（1）知：

全班56名同学每人随机写下一对都小于1的正实数x、y，可以看作在区域Ω中任取56个点；满足“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”的（x，y）共有12对，即有12个点落在区域N中，

故其概率为，用频率估计概率，有,即，

∴即π的近似值为3.143．

【解析】（1）根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及事件“|AM|≤1”对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．（2）以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：任取两个小于1的正数x，y，所有基本事件构成区域 ，即正方形ABCD内部；事件N=“以x，y与1为边长能构成锐角三角形”包含的基本事件构成区域 ，即扇形BAD以外正方形ABCD以内的阴影部分，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．
【考点精析】本题主要考查了几何概型的相关知识点，需要掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等才能正确解答此题．