Question

【题目】设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ，n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项；
（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ，①

∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1= ．②

①﹣②，得3n﹣1an= ，

所以 （n≥2），

在①中，令n=1，得 也满足上式．

∴ ．

（2）解：∵ ，

∴bn=n3n．

∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n．③

∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1．④

④﹣③，得2Sn=n3n+1﹣（3+32+33+…+3n），

即2Sn=n3n+1﹣ ．

∴

【解析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= 当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1= ，两式作差求出数列{an}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．