题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若,且对任意的
,都有
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)对a分和
两种情况讨论,利用导数求函数的单调性;(Ⅱ)当
时,由(Ⅰ)知
在
上单调递增,在
上单调递减.再对a分三种情况讨论,利用导数研究不等式的恒成立问题得解.
(Ⅰ)函数的定义域为
,
.
(i)当时,
恒成立,
∴在
上单调递增.
(ii)当时,在
上
,在
上
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知
在
上单调递增,在
上单调递减.
①当,即
时,
在
上单调递减,
,
,解得
.
∴.
②当,即
时,
在
上单调递增,
,
,解得
.
∴.
③当,即
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
.
则,即
.
令,
,
易得,所以
在
上单调递增.
又∵,∴对任意的
,都有
.
∴.
综上所述,的取值范围为
.

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