题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求满足方程
的
的值;
(2)若函数是定义在R上的奇函数.
①若存在,使得不等式
成立,求实数
的取值范围;
②已知函数满足
,若对任意
且
,不等式
恒成立,求实数
的最大值
【答案】(1)(2)①
②
【解析】
(1)解方程求出
的值即可;
(2)根据函数是定义在R上的奇函数,由定义列出方程,求出
,
对于①,利用函数单调性的定义证明的单调性,利用单调性化简不等式得到
,由
,即可得到实数
的取值范围;
对于②,由的解析式得到
的解析式,化简
,结合换元法以及基本不等式得到实数
的最大值.11
解:(1)因为,
,所以
,
化简得,解得
(舍)或
,
所以.
(2)因为是奇函数,
所以,所以
化简变形得:
要使上式对任意恒成立,则
且
解得:或
,因为
的定义域是
,所以
舍去
所以,
,所以
.
①,
对任意,
,且
有:
,
因为,所以
,所以
,
因此在
上单调递增,
因为,当
时成立,所以
,当
时成立,
即,当
时成立,
当时,
,所以
.
②因为,所以
,
所以,
不等式恒成立,即
,
令,因为
且
,
所以,即
,
所以,当
时恒成立,即
,当
时恒成立,
因为,
,当且仅当
时,等号成立,
所以,即实数
的最大值为
.
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