Question

16．已知x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，若x+2y＞m²-2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （2，4）
• B． （1，2）
• C． （-2，1）
• D． （-2，4）

Answer 1

分析 先把x+2y转化为（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m²-2m求得m²-2m＜8，进而求得m的范围．

解答 解：∵$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，x，y＞0，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{4}$=8，
∵x+2y＞m²+2m恒成立，
∴m²-2m＜8，
求得-2＜m＜4，
故选：D．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．