Question

20．定义点P对应到点Q的对应法则：$f：P（m，n）→Q（-\sqrt{n}，-\frac{{\sqrt{m}}}{2}）$，（m≥0，n≥0），则按定义的对应法则f，当点P在线段AB上从点A（4，0）开始运动到点B（0，4）时，可得到P的对应点Q的相应轨迹，记为曲线E，则曲线E上的点与线段AB上的点之间的最小距离为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得线段AB的方程，进而可得曲线E为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1在第三象限的部分，由点到直线的距离公式可得．

解答 解：由题意可得点P在线段AB上，
∴m+n=4，m≥0，n≥0，
设x=-$\sqrt{n}$，y=-$\frac{\sqrt{m}}{2}$，则x≤0，y≤0，
∴n=x²，m=4y²，代入m+n=4变形可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∴曲线E为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1在第三象限的部分，
∴下顶点（0，-1）到直线m+n=4的距离即为所求，
由距离公式可得距离d=$\frac{|0-1-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

点评 本题考查距离公式，考查新定义和椭圆的知识，属中档题．