题目内容
11．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的取值范围是（ ）| A． | （-∞，1] | B． | [-1，1] | C． | [-$\frac{1}{2}$，1] | D． | [-$\frac{1}{4}$，1] |
分析 由基本不等式易得ab+bc+ca≤1，再由a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）2≥0可得ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$，综合可得答案．
解答 解：∵a2+b2≥2ab，∴ab≤$\frac{1}{2}$（a2+b2），①
当且仅当a=b时取等号，
同理可得bc≤$\frac{1}{2}$（b2+c2），②，ac≤$\frac{1}{2}$（a2+c2），③
①+②+③可得ab+bc+ca≤$\frac{1}{2}$（2a2+2b2+2c2）
∵a2+b2+c2=1，∴$\frac{1}{2}$（2a2+2b2+2c2）=1，
∴ab+bc+ca≤1，当且仅当a=b=c时取等号，
又a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）2≥0，
∴1+2（ab+bc+ca）≥0，
∴ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$
故选：C．
点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．
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| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{5}{6}$ |
