Question

15．已知等比数列{a_n}满足a₁=2，a₂=4（a₃-a₄），数列{b_n}满足b_n=3-2log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ²-kλ+2＞a_2nb_n成立的k的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设等比数列{a_n}的公比为q，通过a₁=2、a₂=4（a₃-a₄）计算可知数列{a_n}是以2为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而数列{b_n}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知c_n=（2n-1）•2^n-2，利用错位相减法计算即得结论；
（Ⅲ）通过（Ⅰ）知数列{a_2nb_n}为单调递减数列，进而只需解不等式2λ²-kλ+2＞a₂b₁，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=2，a₂=4（a₃-a₄），
∴$2q=4×（2{q^2}-2{q^3}），q=\frac{1}{2}$，
故数列{a_n}是以2为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∵${a_n}=2•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={2^{2-n}}；bn=3-{log_2}{a_n}=2n-1$，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴${a_n}={2^{2-n}}，bn=2n-1$；
（Ⅱ）∵c_n=$\frac{a_n}{b_n}$=（2n-1）•2^n-2，
∴T_n=$\frac{1}{2}$×1+1×3+2×5+…+2^n-2×（2n-1），
$2{T_n}=1×1+2×3+{2^2}×5+…+{2^{n-2}}（2n-3）+{2^{n-1}}（2n-1）$，
两式相减得：$-Tn=\frac{1}{2}×1+2（1+2+…+{2^{n-2}}）-{2^{n-1}}（2n-1）$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{{1-{2^{n-1}}}}{1-2}-{2^{n-1}}（n-1）=-\frac{3}{2}+{2^{n-1}}（3-2n）$，
∴${T_n}=\frac{3}{2}+（2n-3）{2^{n-1}}$；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知${a_{2n}}{b_n}={2^{2-2n}}（2n-1）$，
∴数列{a_2nb_n}为单调递减数列；
∴当n≥1时，${a_{2n}}{b_n}≤a_2^{\;}{b_1}=1$，即a_2nb_n最大值为1，
由2λ²-kλ+2＞1可得$kλ＜2{λ^2}+1，k＜2λ+\frac{1}{λ}$，
而当λ＞0时，$2λ+\frac{1}{λ}≥2\sqrt{2}$，当且仅当$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时取等号，
∴$k∈（-∞，2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．