Question

7．已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，若$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，则实数λ的值为（　　）

• A． $\frac{3}{7}$
• B． 13
• C． 6
• D． $\frac{12}{7}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示后展开，结合已知条件可求得实数λ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（$λ\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）
=$λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-λ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=$（λ-1）•|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|•cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$$-λ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=0．
∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，
∴2×3（λ-1）•cos120°-4λ+9=0．
解得：$λ=\frac{12}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题．