Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在定义域上为减函数，若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0（k为常数）恒成立．求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）是定义在R的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）

令x=0，f（0）=﹣f（0），f（0）=0

令x=1，f（﹣1）=﹣f（1），

所以 ，

解得： ；

（Ⅱ）经检验，当a=2，b=1时，f（x）为奇函数．

所以f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）

因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）

因为f（x）在R上单调减，所以t2﹣2t＞k﹣2t2

即3t2﹣2t﹣k＞0在R上恒成立，所以△=4+43k＜0

所以k＜﹣ ，即k的取值范围是（﹣∞，﹣ ）

【解析】（Ⅰ）利用奇函数定义f（﹣x）=﹣f（x）中的特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)．