题目内容
【题目】对于命题P:存在一个常数M,使得不等式 对任意正数a,b恒成立.
(1)试给出这个常数M的值;
(2)在(1)所得结论的条件下证明命题P;
(3)对于上述命题,某同学正确地猜想了命题Q:“存在一个常数M,使得不等式 对任意正数a,b,c恒成立.”观察命题P与命题Q的规律,请猜想与正数a,b,c,d相关的命题.
【答案】
(1)解:根据题意,由于 对任意正数a,b恒成立,
令a=b得: ,
故
(2)解:要证明 ,
先证明 .
∵a>0,b>0,要证上式,只要证3a(2b+a)+3b(2a+b)≤2(2a+b)(2b+a),
即证a2+b2≥2ab即证(a﹣b)2≥0,这显然成立.
∴ .
再证明 .
∵a>0,b>0,要证上式,只要证3a(2a+b)+3b(2b+a)≥2(a+2b)(b+2a),
即证a2+b2≥2ab即证(a﹣b)2≥0,这显然成立.
∴
(3)解:猜想结论:存在一个常数M,使得不等式 对任意正数a,b,c,d恒成立
【解析】(1)根据题意,利用特殊值法,令a=b可得, ,分析即可得M的值;(2)由分析法的思路:先证明 ,再类比可以证明 ,综合即可得证明;(3)利用类比推理的思路,分析可得答案.
【题目】某某车站在春运期间为了改进服务,随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时,单位:min).下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题:
分组 | 频数 | 频率 | |
一组 | 0≤t<5 | 0 | 0 |
二组 | 5≤t<10 | 10 | |
三组 | 10≤t<15 | 10 | 0.10 |
四组 | 15≤t<20 | ||
五组 | 20≤t<25 | 30 | 0.30 |
合计 | 100 | 1.00 |
(1)这次抽样的样本容量是多少?
(2)在表中填写缺失的数据并补全频率分布直方图.
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组?
(4)若每增加一个购票窗口可使平均购票用时缩短5 min,要使平均购票用时不超过10 min,那么你估计最少要增加几个窗口?