题目内容

【题目】对于命题P:存在一个常数M,使得不等式 对任意正数a,b恒成立.
(1)试给出这个常数M的值;
(2)在(1)所得结论的条件下证明命题P;
(3)对于上述命题,某同学正确地猜想了命题Q:“存在一个常数M,使得不等式 对任意正数a,b,c恒成立.”观察命题P与命题Q的规律,请猜想与正数a,b,c,d相关的命题.

【答案】
(1)解:根据题意,由于 对任意正数a,b恒成立,

令a=b得:


(2)解:要证明

先证明

∵a>0,b>0,要证上式,只要证3a(2b+a)+3b(2a+b)≤2(2a+b)(2b+a),

即证a2+b2≥2ab即证(a﹣b)2≥0,这显然成立.

再证明

∵a>0,b>0,要证上式,只要证3a(2a+b)+3b(2b+a)≥2(a+2b)(b+2a),

即证a2+b2≥2ab即证(a﹣b)2≥0,这显然成立.


(3)解:猜想结论:存在一个常数M,使得不等式 对任意正数a,b,c,d恒成立
【解析】(1)根据题意,利用特殊值法,令a=b可得, ,分析即可得M的值;(2)由分析法的思路:先证明 ,再类比可以证明 ,综合即可得证明;(3)利用类比推理的思路,分析可得答案.

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