题目内容
【题目】已知曲线(
为参数),曲线
,将
的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的
得到曲线
.
(1)求曲线的普通方程,曲线
的直角坐标方程;
(2)若点为曲线
上的任意一点,
为曲线
上的任意一点,求线段
的最小值,并求此时的
的坐标;
(3)过(2)中求出的点做一直线
,交曲线
于
两点,求
面积的最大值(
为直角坐标系的坐标原点),并求出此时直线
的方程.
【答案】(1)曲线:
,曲线
:
;(2)最小值为
,此时
;(3)最大值为
,此时
.
【解析】
(1)通过变换求出曲线的参数方程然后化为普通方程,利用极坐标与直角坐标的关系,求解曲线
的直角坐标方程;(2)由题意线段
的最小值,转为圆的圆心到直线的距离减去半径,利用直线的垂直关系,即可求此时的P的坐标.(3)写出三角形的面积公式即可得到最大值,并得到圆心O到直线l的距离,设出直线l的方程,利用圆心到直线的距离公式进行计算即可得到答案.
(1)曲线(
为参数),将
的横坐标伸长为原来的2倍,
纵坐标缩短为原来的得到曲线
,化为普通方程为
,
曲线,即
,
可得直角坐标方程为.
(2)设,则线段
的最小值为点P到直线
的距离.
转为圆心到直线的距离减去半径,,
直线的斜率为-1,所以直线PQ的斜率为1,直线PQ方程为y=x,
联立解得Q(1,1).
(3)由题意可得,
当,即
时取到面积的最大值
,
此时可知圆心O到直线l的距离为,
由题意可得直线l的斜率肯定存在并设为k,
则直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,
圆心到直线l的距离,解得
,
所以直线l的方程为:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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