题目内容
【题目】若曲线C上任意一点与直线上任意一点的距离都大于1,则称曲线C远离”直线
,在下列曲线中,“远离”直线
:y=2x的曲线有___________(写出所有符合条件的曲线的编号)
①曲线C:;②曲线C:
;③曲线C:
;
④曲线C:;⑤曲线C:
.
【答案】②③⑤
【解析】
对于①利用两条平行线间的距离公式来判断;对于②,设出曲线斜率为的切线方程,利用判别式为零求出这条切线方程,再利用两条平行线间的距离公式来判断;对于③,利用点到直线距离来判断.对于④,利用图像上的特殊点进行排除;对于⑤,利用导数求得曲线上和直线
平行的切线的切点,然后利用点到直线的距离公式来判断.
对于①,由两条平行线间的距离公式得两直线距离为,不符合题意.对于②,设
与抛物线相切,即
,也即
,判别式
,故切线方程为
,与
的距离为
,符合题意.对于③,方程表示点
,到直线
的距离为
符合题意.对于④,取点
,到直线
的距离为
不符合题意.对于⑤,令
,解得
,切点为
,到直线
的距离为
,符合题意.综上所述,符合题意的有②③⑤.
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