题目内容
【题目】如图,在四面体中,
分别是线段
的中点,
,
,
,直线
与平面
所成的角等于
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明; (Ⅱ) 。
【解析】
(Ⅰ)先证得,再证得
,于是可得
平面
,根据面面垂直的判定定理可得平面
平面
.(Ⅱ)利用几何法求解或建立坐标系,利用向量求解即可得到所求.
(Ⅰ)在中,
是斜边
的中点,
所以.
因为是
的中点,
所以,且
,
所以,
所以.
又因为,
所以,
又,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)方法一:取中点
,连
,则
,
因为,
所以.
又因为,
,
所以平面
,
所以平面
.
因此是直线
与平面
所成的角.
故,
所以.
过点作
于
,则
平面
,
且.
过点作
于
,连接
,
则为二面角
的平面角.
因为,
所以,
所以,
因此二面角的余弦值为
.
方法二:
如图所示,在平面BCD中,作x轴⊥BD,以B为坐标原点,BD,BA所在直线为y轴,z轴建立空间直角坐标系.
因为 (同方法一,过程略)
则,
,
.
所以,
,
,
设平面的法向量
,
则,即
,取
,得
.
设平面的法向量
则,即
,取
,得
.
所以,
由图形得二面角为锐角,
因此二面角的余弦值为
.

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