题目内容
【题目】在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下:
如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以
为始边作角
.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.
则
由向量数量积的坐标表示,有:
设的夹角为θ,则
另一方面,由图3.1—3(1)可知,;由图可知,
.于是
.
所以,也有
,
所以,对于任意角有:
(
)
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角
的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作
.
有了公式以后,我们只要知道
的值,就可以求得
的值了.
阅读以上材料,利用下图单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:
(1)判断是否正确?(不需要证明)
(2)证明:
(3)利用以上结论求函数的单调区间.
【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,
的单调递减区间为
【解析】
(1) 因为对是
方向上的单位向量,又
且
与
共线,即可判断出正确;
(2)在中,
,又
,表示出
,
的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;
即
(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.
(1) 因为对于非零向量是
方向上的单位向量,又
且
与
共线,所以
正确;
(2) 因为M为AB的中点,则,从而在
中,
,又
,又
,
,所以
,
即
(3) 因为令
,解得:
所以的单调递增区间为
令,解得:
所以的单调递减区间为
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