题目内容
【题目】1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机
年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念
之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究研究方法如下：对于正整数
，
，我们准备
张不同的卡片，其中写有数字0，1，…，
的卡片各有张如果用这些卡片表示位
进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示
个不同的整数
例如
，
时，我们可以表示出
共
个不同的整数
假设卡片的总数为一个定值，那么进制的效率最高则意味着张卡片所表示的不同整数的个数最大根据上述研究方法，几进制的效率最高？ 
A. 二进制 B. 三进制 C. 十进制 D. 十六进制
【答案】B
【解析】
设
为定值，可得nx张卡片所表示的不同整数的个数
，
，假设
，
，可得
，即
，利用求导研究其单调性即可求出答案。
设为定值，
则nx张卡片所表示的不同整数的个数，，
假设，，
则，即，
求导可得：
，
因为
，所以当
，
，当
，
，
可得
时，函数
取得最大值，
比较
，
的大小即可，
分别6次方可得：
，
，
可得
，
．
根据上述研究方法，3进制的效率最高。
故选：B．
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