Question

8．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=CD，∠ADC=90°，BC=DC=2AD，E为四边形ABCD内一点，F为四边形ABCD外一点，且∠BEC=∠DFC=90°，BE∥CF交CD的中点于N．
（1）已知EC=1，求线段DF的长；
（2）连接BF交EC于G，求证：∠A+$\frac{1}{3}$∠ABF=135°．

Answer 1

分析 （1）延长BN，交DF于G，由已知得四边形ECFO是矩形，且EC=GF=1，从而能求出DF=2GF=2．
（2）由已知推导出BD=BF，∠DBG=∠FBG，∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°，△BDA≌△BDN，由此能求出∠A+$\frac{1}{3}$∠ABF=135°．

解答 （1）解：延长BN，交DF于G，
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，DC=2AD，
E为四边形ABCD内一点，F为四边形ABCD外一点，
且∠BEC=∠DFC=90°，BE∥CF交CD的中点于N，
∴四边形ECFO是矩形，且EC=GF=1，
∵N是DC中点，且CF∥BG，
∴G是DF的中点，∴DF=2GF=2．
（2）证明：由（1）知：BG⊥DF，DG=GF，
∴BD=BF，∠DBG=∠FBG，
∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°，
∵AD=DN，∠ADB=∠NDB，BD=BD，
∴△BDA≌△BDN，
∴∠ABD=∠NBD=∠FBN，
∴∠ABD=$\frac{1}{3}∠ABF$，
∵∠A+∠ABD=180°-∠ADB=135°，
∴∠A+$\frac{1}{3}$∠ABF=135°．

点评 本题考查线段长的求法，考查两角和为135°的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等的性质的合理运用．