题目内容

3.已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),g(x)=f(x)+2且g(x)是偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数h(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调,求实数a的取值范围.

分析 (1)由g(x)=x2+bsinx-2+2得g(x)=x2+bsinx,利用g(-x)=g(x),求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数h(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调,有h'(x)≥0或h'(x)≤0恒成立,分离参数,求最值,即可求实数a的取值范围.

解答 解:(1)由g(x)=x2+bsinx-2+2得g(x)=x2+bsinx
∵g(-x)=g(x)
∴x2-bsinx=x2+bsinx
∴bsinx=0⇒sinx=0或 b=0
故f(x)=x2-2
(2)由 h(x)=x2-2+2(x+1)+alnx得h(x)=x2+2x+alnx(x>0),
$h'(x)=2x+2+\frac{a}{x}$(x>0)
∵h(x)在区间(0,1)上单调,
∴有h'(x)≥0或h'(x)≤0恒成立
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0,
∴a≥-2x2-2x或a≤-2x2-2x
设t=-2x2-2x,当0<x<1时,-4<t<0,
∴a≥0或a≤-4
∴实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).

点评 本题考查利用导数知识的应用,考查函数的解析式,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.

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