题目内容
3.已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),g(x)=f(x)+2且g(x)是偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数h(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调,求实数a的取值范围.
分析 (1)由g(x)=x2+bsinx-2+2得g(x)=x2+bsinx,利用g(-x)=g(x),求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数h(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调,有h'(x)≥0或h'(x)≤0恒成立,分离参数,求最值,即可求实数a的取值范围.
解答 解:(1)由g(x)=x2+bsinx-2+2得g(x)=x2+bsinx
∵g(-x)=g(x)
∴x2-bsinx=x2+bsinx
∴bsinx=0⇒sinx=0或 b=0
故f(x)=x2-2
(2)由 h(x)=x2-2+2(x+1)+alnx得h(x)=x2+2x+alnx(x>0),
$h'(x)=2x+2+\frac{a}{x}$(x>0)
∵h(x)在区间(0,1)上单调,
∴有h'(x)≥0或h'(x)≤0恒成立
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0,
∴a≥-2x2-2x或a≤-2x2-2x
设t=-2x2-2x,当0<x<1时,-4<t<0,
∴a≥0或a≤-4
∴实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).
点评 本题考查利用导数知识的应用,考查函数的解析式,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.
练习册系列答案
相关题目
15.已知函数y=ex,若f(x)的图象的一条切线经过点(-1,0),则这条切线与直线x=2及x轴所围成的三角形面积为( )
A. | $\frac{4}{e}$ | B. | $\frac{9}{2}$ | C. | 2 | D. | $\frac{{e}^{2}}{2}$ |
11.某电子广告牌连续播出四个广告,假设每个广告所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计,以往播出100次所需的时间(t)的情况如下:
每次随机播出,若将频率视为概率.
(Ⅰ)求恰好在开播第6分钟后开始播出第3号广告的概率;
(Ⅱ)求第4分钟末完整播出广告1次的概率.
类别 | 1号广告 | 2号广告 | 3号广告 | 4号广告 |
广告次数 | 20 | 30 | 40 | 10 |
时间t(分钟/人) | 2 | 3 | 4 | 6 |
(Ⅰ)求恰好在开播第6分钟后开始播出第3号广告的概率;
(Ⅱ)求第4分钟末完整播出广告1次的概率.