题目内容
【题目】如图,在以为顶点的五面体中,面
是边长为3的菱形.
(1)求证:;
(2)若,
,
,
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由已知条件中的菱形得到线线平行,利用线面平行的判定定理得到线面平行,再由线面平行的性质定理得到线线平行;
(2)建立空间直角坐标系,求出法向量的夹角,得出二面角的大小.
(1)因为是菱形,
所以,
又因为平面
,
平面
,
所以平面
,
又因为平面
,
平面平面
,
所以.
(2)在中,
根据余弦定理,
因为,
,
,
所以,
则,
所以,
即.
因为,
,
所以.
又因为,
平面
,
所以平面
.
设中点为
,连结
,
,
因为是菱形,
,
所以是等边三角形,
所以,
所以.
作于点
,
则,
在中,
,
所以.
如图,以为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
因为,
所以,
即,
取,解得
,
,
此时.
由图可知,平面的一个法向量为
,
则,
因为二面角是锐角,所以二面角
的余弦值是
.
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