题目内容

【题目】已知动点的顶点,,直线的斜率之积为.

(1)求点的轨迹的方程;

(2)设四边形的顶点都在曲线上,且,直线分别过点,求四边形的面积为时,直线的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)先设点,根据题意得到,化简整理即可得出结果;

(2)先由题意可得,直线的斜率不为0,设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,根据韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离表示出,再由图形的对称性得到,结合题中条件,即可求出结果.

(1)设点,由已知

直线的斜率之积为

,化简得.

所以动点的轨迹的方程为.

(2)依题意,直线的斜率不为0,

设直线的方程为

,得

所以

又原点到直线的距离

所以

由图形的对称性可知,

所以

化简得,解得,即

所以直线的方程为,即.

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