Question

【题目】已知动点是的顶点，，，直线，的斜率之积为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设四边形的顶点都在曲线上，且，直线，分别过点，，求四边形的面积为时，直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先设点，根据题意得到，化简整理即可得出结果；

（2）先由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离表示出，再由图形的对称性得到，结合题中条件，即可求出结果.

（1）设点，由已知，，

直线与的斜率之积为，

即，化简得.

所以动点的轨迹的方程为.

（2）依题意，直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，

由，得，

则，，

所以 ，

又原点到直线的距离，

所以，

由图形的对称性可知，，

所以，

化简得，解得，即，

所以直线的方程为，即.