题目内容
【题目】已知椭圆
的左顶点为
，离心率为
，点
在椭圆
上.
（1)求椭圆的方程；
（2）若直线
与椭圆交于
，
两点，直线
，
分别与
轴交于点
，
，求证：在
轴上存在点
，使得无论非零实数
怎样变化，总有
为直角，并求出点的坐标.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1)依题意，根据离心率，得
，再由点
在椭圆
上，得到
，联立方程组，求得
的值，即可求得椭圆的方程；
（2）联立方程组解得
，
，求得
和
所在直线方程，求得
点坐标，再利用向量的数量积的运算，求得点P的坐标，得到结论．
（1)依题意，
，所以 ①，
又因为点在椭圆上，所以 ②，
由①②解得
，
，所以椭圆方程为.
（2）设
，
，则
，不妨令
.
由
可得
，解得，
，
，所以所在直线方程为
，
所在直线方程为
，
可得
，同理可得
，
所以
，
，
所以，
，所以
或
，
所以存在点
且坐标为
或
．
使得无论非零实数
怎么变化，总有
为直角.
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