题目内容
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,圆
:
,过
作垂直于
轴的直线交抛物线
于
、
两点,且
的面积为
.
(1)求抛物线的方程和圆
的方程;
(2)若直线、
均过坐标原点
,且互相垂直,
交抛物线
于
,交圆
于
,
交抛物线
于
,交圆
于
,求
与
的面积比的最小值.
【答案】(1) 抛物线方程为: ,圆方程为:
(2) 当
时,
与
的面积比的取到最小值4.
【解析】试题分析:(1)先求得的坐标,可得
,由
的面积为
,可得
,从而可得抛物线
的方程,进而可得圆
的方程;(2)设
的方程为
,
则方程为
.由
得
=0,或
同理可求得
.
根据弦长公式及点到直线距离公式可得,
,从而
,利用基本不等式可得结果.
试题解析:(1)因为抛物线焦点F坐标为 , 则
,
联立 ∴
或
,
故,
∴,
即,
∴抛物线方程为: .
圆方程为: ,
(2) 显然、
的斜率必须存在且均不为0,设
的方程为
,
则方程为
.(注:末说明斜率不给分)
由得
=0,或
同理可求得
.
则
.
设到
、
的距离分别为
、
,
则;
.
则.
∴.
当且仅当时,
与
的面积比的取到最小值4.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭抛物线方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积比的最值的.
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【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的
人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | |||
认为共享产品对生活无益 | |||
总计 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为对共享产品的态度与性别有关系?
(2)现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取人,再从
人中随机抽取
人赠送超市购物券作为答谢,求恰有
人是女性的概率.
参与公式:
临界值表: