Question

3．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．

Answer 1

分析 （1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5，然后求解这40辆小型车辆的平均车速．
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数，车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出所有基本事件，车速在[65，70）的车辆数，然后求解概率．

解答 解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5…（2分）
这40辆小型车辆的平均车速为：$\frac{2×62.5+4×67.5+8×72.5+12×77.5+10×82.5+4×87.5}{40}=77$（km/t）…（5分）
（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m₁=0.01×5×40=2（辆）
车速在[65，70）的车辆数为：m₂=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f）（e，f）共15种
其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共14种
所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为$P=\frac{14}{15}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．