如图.AB是圆O的一条切线.切点为B.ADE.CFD.CGE都是圆O的割线.已知AC=AB．(Ⅰ)证明:∠CEA=∠DCA, (Ⅱ)证明:FG∥AC．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是圆O的割线，已知AC=AB．
（Ⅰ）证明：∠CEA=∠DCA；
（Ⅱ）证明：FG∥AC．

分析（Ⅰ）利用切线长与割线长的关系及AB=AC，证明△ACD∽△AEC，即可得出结论．
（Ⅱ）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．

解答证明：（Ⅰ）∵AB为切线，AE为割线，∴AB²=AE•AD，
又∵AB=AC，∴AC²=AE•AD，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
又∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴∠CEA=∠DCA； 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC． 10分

点评本题考查三角形相似，切割线定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力．

练习册系列答案

相关题目

2．

如图，已知离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值；
（3）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

3．

2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．

20．等差数列{a_n}中，a₄=6，则2a₁-a₅+a₁₁=12．

7．函数f（x）为奇函数且f（3x+1）的周期为3，f（1）=-1，则f（2015）=（　　）

17．

已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到△B₁AE的位置，使平面B₁AE⊥平面AECD，F为B₁D的中点．
（1）证明：B₁E∥平面ACF；
（2）求平面ADB₁与平面ECB₁所成锐二面角的余弦值．

4．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，则两曲线交点间的距离是$4\sqrt{3}$．

1．已知矩阵M=$（\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{1}\end{array}）$的一个特征值l所对应的特征向量为$（\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}）$．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．

2．大量统计数据表明，某班一周内（周一到周五）各天语文、数学、外语三科有作业的概率如下表：

	周一	周二	周三	周四	周五
语文	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
数学	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
外语	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

根据上表：
（Ⅰ）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率；
（Ⅱ）设一周内有数学作业的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

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