题目内容

5.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,$\sqrt{3}$),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4$\sqrt{7}$x的准线上,则双曲线的方程为(  )
A.$\frac{{x}^{2}}{21}$-$\frac{{y}^{2}}{28}$=1B.$\frac{{x}^{2}}{28}$-$\frac{{y}^{2}}{21}$=1C.$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1D.$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

分析 由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.

解答 解:由题意,$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵抛物线y2=4$\sqrt{7}$x的准线方程为x=-$\sqrt{7}$,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4$\sqrt{7}$x的准线上,
∴c=$\sqrt{7}$,
∴a2+b2=c2=7,
∴a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
故选:D.

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

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