Question

6．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0．
求①顶点C的坐标；
②直线BC的方程；
③过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的方程．

Answer 1

分析 ①令直线AC边所在的直线斜率为k，则$\frac{1}{2}k$=-1，从而直线AC的方程为2x+y-11=0．解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，能求出顶点C的坐标．
②设点B的坐标为（x₀，y₀），且点B与点A关于直线2x-y-5=0对称，又点B在直线BH上，能求出x₀=-1，y₀=-3，由两点式，得直线BC的方程．
③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为（a，a），由此能求出圆的方程．

解答 解：①令直线AC边所在的直线斜率为k，
∵AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，
∴$\frac{1}{2}k$=-1，解得k=-2，
∴直线AC的方程为：y-1=-2（x-5），即，2x+y-11=0．
∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，得x=4，y=3，
∴顶点C的坐标为（4，3）．
②设点B的坐标为（x₀，y₀），且点B与点A关于直线2x-y-5=0对称，
∴$2•\frac{{x}_{0}+5}{2}-\frac{{y}_{0}+1}{2}-5=0$，
又点B在直线BH上，
∴x₀-2y₀-5=0，
∴x₀=-1，y₀=-3，
所以，由两点式，得直线BC的方程为：$\frac{y+3}{x+1}=\frac{3+3}{4+1}$，
整理，得6x-5y-9=0．
③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为（a，a），
∵A（5，1），C（4，3），
∴$\sqrt{（a-5）^{2}+（a-1）^{2}}=\sqrt{（a-4）^{2}+（a-3）^{2}}$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴圆的半径r=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-5）^{2}+（-\frac{1}{2}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$，
∴圆的方程为$（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y+\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{65}{2}$．

点评 本题考查顶点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点斜式方程、直线对称、圆的方程等知识点的合理运用．