Question

15．已知f（x）=|2x-4|，g（x）=|x+3|．
（1）解不等式f（x）+g（x）＞7；
（2）令h（x）=f（x）+2g（x），求h（x）的最小值，并求出当h（x）取的最小值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得h（x）的最小值，可得此时x的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）+g（x）＞7，即|2x-4|+|x+3|＞7，、
等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-3}\\{4-2x-x-3＞7}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤2}\\{4-2x+x+3＞7}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x+4+x+3＞7}\end{array}\right.$③．
解①求得 x＜-3，解②求得-3≤x＜0，解③求得x＞$\frac{8}{3}$，
综上可得，不等式的解集为（∞，0）∪（$\frac{8}{3}$，+∞）．
（2）h（x）=f（x）+2g（x）=|2x-4|+|2x+6|≥|2x-4-（2x+6）|=10，
故h（x）的最小值为10．此时，-3≤x≤2，
故当h（x）取的最小值时x的取值范围为[-3，2]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．