题目内容
【题目】如图,在四棱锥中平面
,且
,
.
(1)求证:;
(2)在线段上,是否存在一点
,使得二面角
的大小为45°,如果存在,求
与平面
所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)是线段
的中点,
【解析】
试题分析:(1)证明线线垂直,一般利用线面垂直性质定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,需要利用线面垂直判定定理:先根据平几知识寻找线线垂直,如由等腰三角形性质得,又由条件
平面
,得线线垂直:
,这样就转化为线面垂直
平面
,即得
(2)研究二面角大小,一般利用空间向量比较直接:先根据题意建立恰当的直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系列方程组,解出
点坐标,确定
点位置,再利用线面角与向量夹角互余关系求
与平面
所成角的正弦值
试题解析:
(1)证明:
如图,由已知得四边形是直角梯形,
由已知,
可得是等腰直角三角形,即
,
又平面
,则
,所以
平面
,所以
..............4分
(2)存在. 法一:(猜证法)
观察图形特点,点可能是线段
的中点,
下面证明当是线段
的中点时,二面角
的大小为45°...................5分
过点作
于
,则
,则
平面
.
过点作
于
,连接
,
则是二面角
的平面角,
因为是线段
的中点,则
,在四边形
求得
,则
.
在三棱锥中,可得
,设点
到平面
的距离是
,
,
则,解得
在中,可得
,
设与平面
所成的角为
,则
.
法二:(作图法)
过点作
于
,则
,则
平面
,
过点作
于
,连接
,则
是二面角
的平面角.
若,则
,又
,易求得
,
即是线段
的中点...
(以下同解法一)
法三:(向量计算法)
建立如图所示空间直角坐标系,
则.
设,则
的坐标为
.........................6分
设是平面
的一个法向量,则
,得
,则可取
.................8分
又是平面
的一个法向量,
所以,
此时平面的一个法向量可取
,
与平面
所成的角为
,则
..............12分
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