题目内容
【题目】已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
(
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)
;(3) 直线
总经过定点
.
【解析】
试题分析:(1) 设,用坐标表示条件
列出方程化简整理可得椭圆的标准方程;(2)由(1)可知
,
,即可得
,由
得
,写出直线
的方程与椭圆方程联立,求出点
的坐标,由两点式求直线
的方程即可;(3)由
,得
,设直线
方程为
,与椭圆方程联立得
,由根与系数关系计算
得
,从而得到直线方程为
,从而得到直线过定点
.
试题解析: (1)设,则
,
,………………1分
∴,化简,得
,∴椭圆
的方程为
.………………3分
(2),
,∴
,………………4分
又∵,∴
,
.
代入解,得
(舍)
∴
,………………6分
,∴
.即直线
方程为
.………………7分
(3)∵,∴
.
设,
,直线
方程为
.代直线
方程
入
,得
.………………9分
∴,
,∴
=
,
∴
,……………11分
∴直线方程为
,
∴直线总经过定点
.………………12分

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