题目内容

【题目】圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1 =1过点P且离心率为

(1)求C1的方程;
(2)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.

【答案】
(1)解:设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),则切线的斜率为

可得切线的方程为 ,化为x0x+y0y=4.

令x=0,可得 ;令y=0,可得

∴切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形的面积S= =

∵4= ,当且仅当 时取等号.

.此时P

由题意可得 ,解得a2=1,b2=2.

故双曲线C1的方程为


(2)解:由(1)可知双曲线C1的焦点(± ,0),即为椭圆C2的焦点.

可设椭圆C2的方程为 (b1>0).

把P 代入可得 ,解得 =3,

因此椭圆C2的方程为

由题意可设直线l的方程为x=my+ ,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立 ,化为

∴x1+x2= =

x1x2= =

,∴

+

,解得m= 或m=

因此直线l的方程为:


【解析】(1)设切点P(x0 , y0),(x0>0,y0>0),利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点P的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出;(2)由(1)可得椭圆C2的焦点.可设椭圆C2的方程为 (b1>0).把P的坐标代入即可得出方程.由题意可设直线l的方程为x=my+ ,A(x1 , y1),B(x2 , y2),与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出.

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