Question

【题目】设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程为__________.

Answer 1

【答案】或

【解析】设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．

从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，

所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．

由此有，解此方程组得或由于r2=2b2知．

于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．

解法二：同解法一，得

∴，得①

将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．

将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．

将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．

综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．

于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．