题目内容

11.设a,b,c∈R+,且ab+bc+ac=1,证明下列不等式:
(Ⅰ)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3\sqrt{3}$;
(Ⅱ)abc(a+b+c)≤$\frac{1}{3}$.

分析 (Ⅰ)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}$,结合ab+bc+ac=1,利用基本不等式,即可证明结论;
(Ⅱ)利用(ab+bc+ac)2=1≥3[(ab)(ac)+(ab)(bc)+(ac)(bc)],即可证明结论.

解答 证明:(Ⅰ)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}$,$ab+bc+ac=1≥3\root{3}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}$,得$abc≤\frac{1}{{3\sqrt{3}}}$(当且仅当a=b=c时等号成立),
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3\sqrt{3}$--------------------------------------------------------(5分)
(Ⅱ)注意到:abc(a+b+c)=(ab)(ac)+(ab)(bc)+(ac)(bc)
∵(ab+bc+ac)2=1≥3[(ab)(ac)+(ab)(bc)+(ac)(bc)](当且仅当a=b=c时等号成立),
∴$abc(a+b+c)≤\frac{1}{3}$.-------------------------------------------------(10分)

点评 本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,属于中档题.

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