Question

11．设a，b，c∈R₊，且ab+bc+ac=1，证明下列不等式：
（Ⅰ）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3\sqrt{3}$；
（Ⅱ）abc（a+b+c）≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}$，结合ab+bc+ac=1，利用基本不等式，即可证明结论；
（Ⅱ）利用（ab+bc+ac）²=1≥3[（ab）（ac）+（ab）（bc）+（ac）（bc）]，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}$，$ab+bc+ac=1≥3\root{3}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}$，得$abc≤\frac{1}{{3\sqrt{3}}}$（当且仅当a=b=c时等号成立），
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3\sqrt{3}$--------------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）注意到：abc（a+b+c）=（ab）（ac）+（ab）（bc）+（ac）（bc）
∵（ab+bc+ac）²=1≥3[（ab）（ac）+（ab）（bc）+（ac）（bc）]（当且仅当a=b=c时等号成立），
∴$abc（a+b+c）≤\frac{1}{3}$．-------------------------------------------------（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．