Question

2．F为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）是面积为$\sqrt{3}$的等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 利用双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式和离心率的公式即可得出．

解答 解：由△POF是面积为$\sqrt{3}$的等边三角形，
即$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，解得c=2．
又线段OF的中点M的横坐标为$\frac{1}{2}$c=1，
即为点P的横坐标，即有P（1，±$\sqrt{3}$），
代入双曲线的方程得$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
又a²+b²=4，
解得a=$\sqrt{3}±1$，由c＞a，可得a=$\sqrt{3}-1$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}+1$．
故选：D．

点评 熟练掌握双曲线的性质、正三角形的性质和面积公式是解题的关键．