Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）的定义域为，对求导，分、和三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；

（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程有两个不等正根，可求得，，及，，由恒成立，可得恒成立，构造函数，求导并判断单调性可知，令即可.

（1）的定义域为，求导得，

令，得，，

若时，，在上恒成立，单调递增；

若时，，方程的两根为，.

当时，，，则时，，故在单调递增；

当时，，则或时，，故在和上单调递增.

综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；当时，的单调递增区间为.

（2）由（1）知有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根

，，，，

此时不等式恒成立，等价于对恒成立，

可化为恒成立，

令，

则，

，，，

在恒成立，在上单调递减，

，

.

故实数的取值范围是.