题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间.
(2)试问:是否存在实数,使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)的单调递减区间为
,单调递增区间为
(2)存在实数
,使得
对
恒成立
【解析】
(1)当时,得
,求得
,进而求解函数的单调区间;
(2)假设存在实数,使得
对
恒成立,利用导数求得函数的单调性和最值,分类讨论,即可求解。
(1)当时,
,
,
当时,
;
当时,
.
故的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2),
.
假设存在实数,使得
对
恒成立.
当时,
对
恒成立,则
在
上单调递减,
从而,又
,则
.
当时,
对
恒成立,则
在
上单调递增,
从而,又
,所以
.
当时,令
,得
,
若,
;若
,
.
从而,则
.
令,则
,易知
在
上单调递增,
则,从而
不可能成立.
综上,存在实数,使得
对
恒成立.
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