题目内容
【题目】某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量.根据调查数据,该昆虫的数量(万只)与时间
(年)(其中
)的关系为
.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境,环保部门通过实时监控比值
(其中
为常数,且
)来进行生态环境分析.
(1)当时,求比值
取最小值时
的值;
(2)经过调查,环保部门发现:当比值不超过
时不需要进行环境防护.为确保恰好3年不需要进行保护,求实数
的取值范围.(
为自然对数的底,
)
【答案】(1)M在时取最小值(2)
【解析】试题分析:(1)求导,利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值;(2)利用(1)结论,列出不等式组进行求解.
试题解析:(1)当时,
,∴
列表得:
2 | |||
0 | |||
单调减 | 极小值 | 单调增 |
∴在
上单调递减,在
上单调递增 ∴
在
时取最小值;
(2)∵ 根据(1)知:
在
上单调减,在
上单调增
∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴,解得:
答:实数的取值范围为
.
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