题目内容
已知椭圆
(a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)．证明
．
(a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)．证明．证明见解析
本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．
证法一：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即
(x1－x0)2+
=(x2－x0)2+
①
∵ A、B在椭圆上，∴
，
．
将上式代入①，得2(x2－x1) x0=
②
∵ x1≠x2，可得
③
∵ －a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，∴ －2a<x1+x2<2a，
∴
证法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因P(x0，0)在AB的垂直平分线上，以点P为圆心，|PA|=r为半径的圆P过A、B两点，圆P的方程为(x－x0)2+y2=r2，
与椭圆方程联立，消去y得(x－x0)2
x2=r2－b2，
∴
①
因A、B是椭圆与圆P的交点，故x1，x2为方程①的两个根．由韦达定理得
x1+x2=
x0．
因－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，故－2a<x1+x2=x0<2a，
∴
证法一：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P(x0，0)，故|PA|=|PB|，即
(x1－x0)2+
=(x2－x0)2+ ①∵ A、B在椭圆上，∴
，．将上式代入①，得2(x2－x1) x0=
②∵ x1≠x2，可得
③∵ －a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，∴ －2a<x1+x2<2a，
∴
证法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．因P(x0，0)在AB的垂直平分线上，以点P为圆心，|PA|=r为半径的圆P过A、B两点，圆P的方程为(x－x0)2+y2=r2，
与椭圆方程联立，消去y得(x－x0)2
x2=r2－b2，∴
①因A、B是椭圆与圆P的交点，故x1，x2为方程①的两个根．由韦达定理得
x1+x2=
x0．因－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，且x1≠x2，故－2a<x1+x2=
x0<2a，∴
练习册系列答案
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交椭圆
于
、
两点，椭圆与
轴正半轴交于点
，
的重心恰好在椭圆的右焦点上，求直线
是椭圆的一个焦点，
是短轴，
，求这个椭圆的离心率。
与曲线
有相同的焦点。
的顶点
在椭圆
上，
在直线
上，且
．
边通过坐标原点
时，求
，且斜边
的长最大时，求
(a＞b＞0)的左准线恰为抛物线E：y2 = 16x的准线，直线l：x + 2y – 4 = 0与椭圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）如果椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于P、Q两点，直线AP、AQ与椭圆C的右准线分别交于N、M两点，求证：四边形MNPQ的对角线的交点是定点．
与定点
的距离和它到直线
的距离的比是
，求点