Question

9．已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象；
（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的，并求f（x）在x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{11π}{24}$]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由周期公式可得T，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用五点法进行列表作图．
（Ⅲ）根据三角函数图象之间的关系以及三角函数的性质进行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴由周期公式可得：T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是：[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（2）列表，图象如图示 （列表及画图9分）

x	0	-$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
2x-$\frac{π}{4}$	-$\frac{π}{4}$	0	-$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{7π}{4}$
f（x）	-1	0	$\sqrt{2}$	0	-$\sqrt{2}$	-1

（3）把y=sinx图象上所有点向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象；再把y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变）得到y=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象；最后把y=sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的$\sqrt{2}$倍（横坐标不变）即得y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象…（11分）
∵x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{11π}{24}$]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
即f（x）的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]…（14分）

点评 本题主要考查利用五点法进行作图，以及三角函数的性质，综合考查三角函数的性质．